第08讲：《向量值函数的基本概念、导数与积分及应用》内容小结、课件与典型例题与练习

一、向量值函数的概念

一元函数是一个由定义域到值域的映射，其定义域与值域都是一维数集．向量值函数是指分量都是关于同一自变量的一元函数，就是说元向量值函数是到上的映射．

比如：二维向量值函数：

三维向量值函数：

它们分别描述了平面上和空间中的曲线，对应的就是平面曲线、空间曲线的参数方程描述形式.

二、向量值函数的极限与连续

以二维向量值函数为例：

对于二维向量值函数，设它在的某去心邻域内有定义，如果

则称当时，向量值函数的极限存在，其极限为

如果二维向量值函数在的某邻域内有定义，且

则称向量值函数在点处连续．

【注】 二维向量值函数在处连续的充分必要条件是其分量函数与在处都连续．

三、向量值函数导数与微分的概念

设向量值函数在的某邻域内有定义，如果极限

存在，则称向量值函数在处可导，并称极限值为向量值函数在处的导数，记为或者．

【注1】 也是一个向量值函数．如果向量值函数在处可导，那么它在点处必连续．

【注2】 设三维向量值函数，其中各分量函数在点处可导，则在点处可导，且

【注3】 如果一个向量值函数在区间上满足连续，且在区间内，称在区间上是光滑的．一条曲线如果由多段光滑曲线段组成，称这条曲线为分段光滑曲线．

【注4】 向量组函数的微分：

四、向量值函数的求导法则

设为可导的向量值函数，为可导的数值函数，为常向量（即的各分量都为任意常数构成的向量），为常数，则有

(1) ；

(2) ；

(3) ；

(4) ；

(5) ；

(6) ；

(7) 链式法则：设为可导的向量值函数， 为可导的数值函数，则

五、空间曲线的切线及法平面方程

设空间曲线为,,，则该曲线在点处的切线向量为

【注】 这样计算得到的切向量指向为曲线参数增大的方向.

空间曲线在点的切线方程为

称过点且与向量垂直的平面为空间曲线的法平面，其方程为

六、向量值函数的不定积分

(1) 向量值函数的原函数：设向量值函数在区间内有定义，如果存在可导的向量值函数，使得对于区间内的每一点，都有，则称向量值函数是在区间内的一个原函数．

【注1】 如果向量值函数是在区间I内的一个原函数，那么，的每个分量函数也是对应的分量函数在区间I内的一个原函数．

【注2】向量值函数在区间内的任意原函数都具有的形式，其中为常向量；

【注3】如果向量值函数在区间内连续，那么，在区间内它一定存在原函数．

(2) 向量值函数的不定积分：若是在区间内的一个原函数，则

【注】向量值函数的不定积分可以通过计算其分量函数的不定积分得到．

七、向量值函数的定积分

设三维向量值函数在区间上连续，定义该函数在区间上的定积分为

向量值函数的定积分的牛顿—莱布尼兹公式：

设向量值函数在区间上连续，是它在区间上的一个原函数，则

例题参见课件.

【注】 向量值函数定义，极限、连续性、导数、积分的讨论与计算，归结为各分量一元实值函数的讨论. 其对应的描述就是曲线的参数方程！

图形绘制方法参见推文：

参考课件

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